标量是最简单的数学概念，它只有大小，没有方向。在日常生活中，我们经常遇到标量：
温度：例如 25°C
质量：例如 50kg
时间：例如 2小时
在NumPy中，单个数字就是一个标量。标量可以是整数、浮点数、布尔值等类型。
import numpy as np
# 创建标量
x = np.float64(3.14)
y = np.int32(5)
print(f"x的类型: {type(x)}, 值: {x}")
print(f"y的类型: {type(y)}, 值: {y}")
# 标量运算
print(f"x + y = {x + y}")
print(f"x * y = {x * y}")x的类型: <class 'numpy.float64'>, 值: 3.14
y的类型: <class 'numpy.int32'>, 值: 5
x + y = 8.14
x * y = 15.700000000000001向量是既有大小又有方向的量。在数学中，向量通常表示为有序的数字列表。
想象一个飞机的运动：它不仅要知道速度是多少（大小），还要知道往哪个方向飞（方向）。这就是一个向量的实际应用。
# 创建向量
v1 = np.array([1, 2, 3]) # 3维向量
v2 = np.array([4, 5, 6]) # 另一个3维向量
print("向量v1:", v1)
print("向量v2:", v2)向量v1: [1 2 3]
向量v2: [4 5 6]向量加法在物理和数学中非常常见。例如，当我们描述一个物体的运动时，可能需要把多个位移向量相加。
向量加法满足以下性质： 1. 交换律：\[\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}\] 2. 结合律：\[(\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c} = \mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c})\]
# 向量加法
sum_v = v1 + v2
print(f"v1: {v1}")
print(f"v2: {v2}")
print(f"v1 + v2 = {sum_v}")v1: [1 2 3]
v2: [4 5 6]
v1 + v2 = [5 7 9]import matplotlib.pyplot as plt
def plot_vector_addition(v1, v2):
plt.figure(figsize=(10, 8)) # Increased figure size
# Draw first vector
plt.quiver(0, 0, v1[0], v1[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='r', label='v1')
# Draw second vector (from origin)
plt.quiver(0, 0, v2[0], v2[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='b', label='v2')
# Draw sum vector
plt.quiver(0, 0, v1[0]+v2[0], v1[1]+v2[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='g', label='v1+v2')
# Draw second vector (from end of first vector)
plt.quiver(v1[0], v1[1], v2[0], v2[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='b', linestyle='--')
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
# Set axis limits with padding
max_val = max(abs(v1).max(), abs(v2).max(), abs(v1+v2).max())
plt.xlim(-max_val-1, max_val+1)
plt.ylim(-max_val-1, max_val+1)
plt.legend()
plt.title('Vector Addition - Parallelogram Rule')
plt.show()
# Demonstrate 2D vector addition
v1_2d = np.array([2, 1])
v2_2d = np.array([1, 2])
plot_vector_addition(v1_2d, v2_2d)
向量减法可以看作是加上一个反向量：\[\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b})\]
# 向量减法
diff_v = v1 - v2
print(f"v1 - v2 = {diff_v}")
print(f"v1 + (-v2) = {v1 + (-v2)}")v1 - v2 = [-3 -3 -3]
v1 + (-v2) = [-3 -3 -3]数乘是将向量的每个分量都乘以同一个标量。这个操作可以改变向量的长度，但通常不改变其方向（除非乘以负数）。
数乘的几何意义：
当标量 > 1 时，向量变长
当 0 < 标量 < 1 时，向量变短
当标量 < 0 时，向量方向反转
# 数乘示例
scalar = 2
scaled_v = scalar * v1
print(f"原向量: {v1}")
print(f"{scalar} * v1 = {scaled_v}")原向量: [1 2 3]
2 * v1 = [2 4 6]def plot_scalar_multiplication(v, scalar):
plt.figure(figsize=(10, 8)) # Increased figure size
plt.quiver(0, 0, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='r', label='Original Vector')
plt.quiver(0, 0, scalar*v[0], scalar*v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='b',
label=f'{scalar}x Vector')
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
# Set axis limits with padding
max_val = max(abs(v).max(), abs(scalar*v).max())
plt.xlim(-max_val-1, max_val+1)
plt.ylim(-max_val-1, max_val+1)
plt.legend()
plt.title(f'Vector Scaled by {scalar}')
plt.show()
# Demonstrate different scalar effects
v = np.array([2, 1])
for scalar in [0.5, 2, -1]:
plot_scalar_multiplication(v, scalar)
点积是两个向量的一种乘法运算，结果是一个标量。其几何意义是：一个向量在另一个向量方向上的投影长度乘以另一个向量的长度。
数学表达式：\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ||\mathbf{a}|| ||\mathbf{b}|| \cos \theta\]
点积的性质： 1. 交换律：\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\] 2. 分配律：\[\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\] 3. 结合律（对标量）：\[(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\]
# 计算点积
v1 = np.array([1, 2, 3])
v2 = np.array([4, 5, 6])
# 使用np.dot()计算点积
dot_product = np.dot(v1, v2)
print(f"v1 · v2 = {dot_product}")
# 计算向量夹角
cos_theta = dot_product / (np.linalg.norm(v1) * np.linalg.norm(v2))
angle = np.arccos(cos_theta)
print(f"向量夹角（弧度）：{angle}")
print(f"向量夹角（角度）：{np.degrees(angle)}")v1 · v2 = 32
向量夹角（弧度）：0.2257261285527342
向量夹角（角度）：12.933154491899135def plot_dot_product(v1, v2):
plt.figure(figsize=(10, 8)) # Increased figure size
# Draw vectors
plt.quiver(0, 0, v1[0], v1[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='r', label='v1')
plt.quiver(0, 0, v2[0], v2[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='b', label='v2')
# Calculate projection
proj_length = np.dot(v1, v2) / np.linalg.norm(v2)
v2_unit = v2 / np.linalg.norm(v2)
proj = proj_length * v2_unit
# Draw projection
plt.quiver(0, 0, proj[0], proj[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='g', label='Projection')
plt.plot([v1[0], proj[0]], [v1[1], proj[1]], '--k')
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
# Set axis limits with padding
max_val = max(abs(v1).max(), abs(v2).max(), abs(proj).max())
plt.xlim(-max_val-1, max_val+1)
plt.ylim(-max_val-1, max_val+1)
plt.legend()
plt.title('Geometric Interpretation of Dot Product')
plt.show()
# Demonstrate dot product geometry
v1_2d = np.array([2, 1])
v2_2d = np.array([1, 2])
plot_dot_product(v1_2d, v2_2d)
# 计算向量的模
magnitude_v1 = np.linalg.norm(v1)
print(f"向量v1的模: {magnitude_v1}")向量v1的模: 3.7416573867739413# 向量单位化
unit_v1 = v1 / np.linalg.norm(v1)
print(f"单位向量: {unit_v1}")
print(f"单位向量的模: {np.linalg.norm(unit_v1)}") # 应该接近1单位向量: [0.26726124 0.53452248 0.80178373]
单位向量的模: 1.0# 一个物体的运动
initial_position = np.array([0, 0, 0]) # 初始位置
displacement = np.array([3, 4, 0]) # 位移向量
final_position = initial_position + displacement
distance = np.linalg.norm(displacement)
print(f"位移向量: {displacement}")
print(f"移动距离: {distance}")位移向量: [3 4 0]
移动距离: 5.0# 平面上两点之间的距离
point1 = np.array([1, 2])
point2 = np.array([4, 6])
distance = np.linalg.norm(point2 - point1)
print(f"两点之间的距离: {distance}")两点之间的距离: 5.0给定向量 a = [1, 2] 和 b = [3, 4]，计算：
计算向量 [1, 1] 和 [1, 0] 之间的夹角。
验证点积的交换律：计算 a · b 和 b · a。
a = np.array([1, 2])
b = np.array([3, 4])
print(f"a + b = {a + b}")
print(f"a - b = {a - b}")
print(f"2a = {2 * a}")
print(f"a · b = {np.dot(a, b)}")a + b = [4 6]
a - b = [-2 -2]
2a = [2 4]
a · b = 11